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    【题目】如图，四棱锥的底面是菱形，与交于点，底面，点为线段中点，.

    （1）求直线与所成角的正弦值；

    （2）求平面与平面所成二面角的正弦值．

    【答案】（1）（2）

    【解析】

    （1）建立空间坐标系分别求得直线DP和BM的方向向量，进而得到异面直线的夹角；（2）分别求两个平面的法向量，再由向量夹角的计算公式得到结果.

    （1）因为是菱形，所以．又底面，以为原点，直 分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系．

    则,,,,,．

    所以，，，

    ，．

    则

    故直线与所成角的余弦值为.

    直线与所成角的正弦值为.

    （2），．．

    设平面的一个法向量为，

    则，得，令，得，．

    得平面的一个法向量为

    又,

    设平面的一个法向量为，

    得，令，得，．

    得平面的一个法向量为．

    所以，，．

    则

    故平面与平面所成二面角的正弦值为.

    练习册系列答案
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    （1）求椭圆C的方程；

    （2）设与圆O：x2+y2=相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．

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    【题目】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：

    质量指标值分组

    [75，85)

    [85，95)

    [95，105)

    [105，115)

    [115，125)

    频数

    6

    26

    38

    22

    8

    （I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：

    （II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

    （III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

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    【题目】设函数为定义在上的奇函数，且当时，.

    （1）求函数的解析式；

    （2）求实数，使得函数在区间上的值域为；

    （3）若函数在区间上的值域为，则记所有满足条件的区间的并集为，设，问是否存在实数，使得集合恰含有个元素？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

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    【题目】如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，为棱的中点，与交于点，侧面，为的中点.

    （1）证明：平面；

    （2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

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    【题目】已知斜三棱柱的侧面与底面垂直，，，且，，求：

    （1）侧棱与底面所成角的大小；

    （2）求点到平面的距离.

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    【题目】随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式。最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高。某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下：

    ①投资产品的收益与投资额的算术平方根成正比；

    ②投资产品的收益与投资额成正比.

    公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.4万元和0.2万元。

    (1) 分别求出产品的收益、产品的收益与投资额的函数关系式；

    (2) 假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？

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    【题目】“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：

    项目

    男性

    女性

    总计

    反感

    10

    不反感

    8

    总计

    30

    已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是.

    (1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？

    (2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和数学期望．

    附：K2＝

    .

    P(K2≥k0)

    0.10

    0.05

    0.010

    0.005

    k0

    2.706

    3.841

    6.635

    7.879

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    【题目】20世纪30年代，里克特（C.F.Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为其中，A是被测量地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际的距离造成的偏差），众所周知，5级地震已经比较明显，计算8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的______倍.

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