Question

已知椭圆C₁：

x2

4

+y2=1，椭圆C₂以C₁的长轴为短轴，且与C₁有相同的离心率．
（1）求椭圆C₂的方程；
（2）设O为坐标原点，过O的直线l与C₁相交于A，B两点，且l与C₂相交于C，D两点．若|CD|=2|AB|，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意，椭圆C₁：

x2

4

+y2=1的长半轴长为2，离心率为

3

2

，由椭圆C₂以C₁的长轴为短轴，知椭圆C₂的对称中心在原点，焦点在y轴上，由此能求出椭圆C₂的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx，或x=0（舍），设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），根据椭圆的对称性，得A（-x₁，-y₁），C（-x₂，-y₂），则

AB

=（2x₁，2y₁），

CD

=（2x₂，2y₂），由|CD|=2|AB|，知x₂=2x₁，（4k²+1）x²-4，解得x12=

4

4k2+1

，由此能求出直线l的方程．

解答：解：（1）由题意，椭圆C₁：

x2

4

+y2=1的长半轴长为2，离心率为

3

2

，
∵椭圆C₂以C₁的长轴为短轴，
∴椭圆C₂的对称中心在原点，焦点在y轴上，
设椭圆C₂：

y2

a2

+

x2

4

=1，a＞2，
∴

a2-4

a

=

3

2

，解得a=4，
∴椭圆C₂的方程为

y2

16

+

x2

4

=1．
（2）如图，设直线l的方程为y=kx，或x=0（舍），
设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
根据椭圆的对称性，得A（-x₁，-y₁），C（-x₂，-y₂），
则

AB

=（2x₁，2y₁），

CD

=（2x₂，2y₂），
∵|CD|=2|AB|，∴

CD

=2

AB

，∴x₂=2x₁，
由方程组

y=kx x2 4 +y2=1

，消去y，得（4k²+1）x²-4，解得x12=

4

4k2+1

，
同理，根据直线l与椭圆C₂的方程得x22=

16

4+k2

，
由x₂=2x₁，得

16

4+k2

=4×

4

4k2+1

，
解得k=±1．
∴直线l的方程为x-y=0，或x+y=0．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．