Question

【题目】已知椭圆 与y轴交于B1、B2两点，F1为椭圆C的左焦点，且△F1B1B2是腰长为 的等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线x=my+1与椭圆C交于P、Q两点，点P关于x轴的对称点为P1（P1与Q不重合），则直线P1Q与x轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：椭圆 与y轴交于B1、B2两点，

F1为椭圆C的左焦点，且△F1B1B2是腰长为 的等腰直角三角形．可得b=c，a= ，则b=1，

椭圆C的方程：

（2）解：设P（x1，y1）Q（x2，y2）P1（x1，﹣y1）

由直线x=my+1与 联立得，（m2+2）y2+2my﹣1=0

韦达定理得，

而直线PQ的方程为 ，令y=0，则 ，

所以直线PQ过定点（2，0）

【解析】（1）利用已知条件求出b=c，a= ，则b=1，推出椭圆C的方程．（2）设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），P1（x1 ， ﹣y1）联立x=my+1与 ，利用韦达定理得，转化求解直线方程，即可推出结果．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．