A. | (1,+∞) | B. | (1,4) | C. | (2,4) | D. | (4,8) |
分析 利用待定系数法设出双曲线和椭圆的方程,根据双曲线和椭圆的定义得到a1=4+c,a2=4-c,然后利用离心率的公式进行转化求解即可.
解答 解:设椭圆与双曲线的标准方程分别为:$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}=1$,$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}_{2}^{2}}=1$.(a1,a2,b1,b2>0,a1>b1)
∵△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,|PF1|=8,
∴8+2c=2a1,8-2c=2a2,
即有a1=4+c,a2=4-c,(c<4),
再由三角形的两边之和大于第三边,可得2c+2c>8,
可得c>2,即有2<c<4.
由离心率公式可得$\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$=$\frac{{a}_{1}}{c}+\frac{{a}_{2}}{c}$=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{c}$=$\frac{4+c+4-c}{c}$=$\frac{8}{c}$,
∵2<c<4,
∴$\frac{1}{4}$<$\frac{1}{c}$<$\frac{1}{2}$,
则2<$\frac{8}{c}$<4,
即2<$\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$<4,
故$\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$的取值范围是(2,4),
故选:C
点评 本题主要考查双曲线离心率的计算,根据椭圆和双曲线的关系和定义得到a1=4+c,a2=4-c,结合三角形的边角关系求出c的范围是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
y | $\frac{1}{2}$ | $\frac{3}{2}$ | 2 | 3 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -2 | B. | -4 | C. | -6 | D. | -8 |
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