Question

12．直三棱柱A₁B₁C₁-ABC，∠BCA=90°，点D₁，F₁分别是A₁B₁，A₁C₁的中点，BC=CA=CC₁，则BD₁与AF₁所成角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{30}}}{10}$
• C． $\frac{{\sqrt{30}}}{15}$
• D． $\frac{{\sqrt{15}}}{10}$

Answer 1

分析 以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD₁与AF₁所成角的余弦值．

解答 解：∵直三棱柱A₁B₁C₁-ABC，∠BCA=90°，
∴以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵点D₁，F₁分别是A₁B₁，A₁C₁的中点，BC=CA=CC₁，
∴设BC=CA=CC₁=2，
则B（0，20），D₁（1，1，2），A（2，0，0），F₁（1，0，2），
$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（1，-1，2），$\overrightarrow{A{F}_{1}}$=（-1，0，2），
设BD₁与AF₁所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{B{D}_{1}}•\overrightarrow{A{F}_{1}}|}{|\overrightarrow{B{D}_{1}}|•|\overrightarrow{A{F}_{1}}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴BD₁与AF₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故选：B．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．