Question

已知动圆P过点F(0，

1

4

)且与直线y=-

1

4

相切．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作一条直线交轨迹C于A，B两点，轨迹C在A，B两点处的切线相交于点N，M为线段AB的中点，求证：MN⊥x轴．

Answer 1

（Ⅰ）根据抛物线的定义，
可得动圆圆心P的轨迹C的方程为x²=y（4分）
（Ⅱ）证明：设A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），∵y=x²，
∴y′=2x，∴AN，BN的斜率分别
为2x₁，2x₂，故AN的方程为y-x₁²=2x₁（x-x₁），
BN的方程为y-x₂²=2x₂（x-x₂）（7分）
即

y=2x1x- x 21 y=2x2x- x 22

，两式相减，得x=

x1+x2

2

，
∴M，N的横坐标相等，于是MN⊥x轴（10分）