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    【题目】“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数经过6次运算后得到1，则的值为__________．

    【答案】10或64.

    【解析】

    从第六项为1出发，按照规则逐步进行逆向分析，可求出的所有可能的取值．

    如果正整数按照上述规则经过6次运算得到1，

    则经过5次运算后得到的一定是2；

    经过4次运算后得到的一定是4；

    经过3次运算后得到的为8或1（不合题意）；

    经过2次运算后得到的是16；

    经过1次运算后得到的是5或32；

    所以开始时的数为10或64．

    所以正整数的值为10或64．

    故答案为：10或64．

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    【题目】如图，一条小河岸边有相距的两个村庄（村庄视为岸边上两点），在小河另一侧有一集镇（集镇视为点），到岸边的距离为，河宽为，通过测量可知，与的正切值之比为．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥（分别为两岸上的点，且垂直河岸，在的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知两村的人口数分别是人、人，假设一年中每人去集镇的次数均为次．设．（小河河岸视为两条平行直线）

    （1）记为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用表示；

    （2）试确定的余弦值，使得最小，从而符合建桥要求．

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    【题目】已知函数.

    （1）求的单调递增区间；

    （2）若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围.

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    【题目】已知为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值。

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    【题目】某桶装水经营部每天的房租，人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售价（元）与日均销售量（桶）的关系如下表，为了收费方便，经营部将销售价定为整数，并保持经营部每天盈利．

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    …

    480

    440

    400

    360

    320

    280

    240

    …

    （1）写出的值，并解释其实际意义；

    （2）求表达式，并求其定义域；

    （3）求经营部利润表达式，请问经营部怎样定价才能获得最大利润？

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