Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），c=

a2-b2

，圆（x-c）²+y²=c²与椭圆恰有两个公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是______．

Answer 1

∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1中，c=

a2-b2

，
∴椭圆的焦点为F₁（-c，0）和F₂（c，0）．
由此可得圆（x-c）²+y=c²的圆心为F₂（c，0），半径r=c．
∵圆（x-c）²+y=c²与椭圆恰有两个公共点，
∴椭圆的右顶点（a，0）在圆的内部，
可得（a-c）²+0²=c²，解之得a＜2c，
因此椭圆的离心率e=

c

a

＞

1

2

，结合e∈（0，1），可得

1

2

＜e＜1．
故答案为：

1

2

＜e＜1