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已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求该圆半径r的取值范围;
(3)求圆心的轨迹方程.
分析:(1)利用方程表示圆的条件D2+E2-4F>0,建立不等式,即可求出实数m的取值范围;
(2)利用圆的半径r=
1
2
4(-7m2+6m+1)
,利用配方法结合(1)中实数m的取值范围,即可求出该圆半径r的取值范围;
(3)根据x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0,确定圆的圆心坐标,再消去参数,根据(1)中实数m的取值范围,可求得圆心的轨迹方程.
解答:解:(1)∵方程表示圆,
∴D2+E2-4F=4(m+3)2+4(1-4m22-4(16m4+9)=4(-7m2+6m+1)>0,
∴-7m2+6m+1>0
∴-
1
7
<m<1.(5分)
(2)r=
1
2
4(-7m2+6m+1)
=
-7(m-
3
7
)
2
+
16
7

∵-
1
7
<m<1
∴0<r≤
4
7
7
.(5分)
(3)设圆心坐标为(x,y),则
x=m+3①
y=4m2-1②

由①得m=x-3,代入②消去m得,y=4(x-3)2-1.
∵-
1
7
<m<1,∴
20
7
<x<4,即轨迹为抛物线的一段,
∴圆心的轨迹方程为y=4(x-3)2-1(
20
7
<x<4).(5分)
点评:本题考查圆的一般方程与圆的标准方程,考查解不等式,配方法求函数的最值,考查轨迹问题,解题时确定圆的圆心与半径是关键.
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