Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC．PA=AB=BC，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）求证：PD∥平面EAC；
（2）求二面角A-EC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）证明：根据题意建立空间坐标系，不妨设PA=PB=PC=3，即可得到有关点的坐标，设D（3，y，0），写出向量的坐标利用

CP

•

AD

=-9-3y=0，可得y=-3，所以DC=2AB，连接BD，交AC于点M，则

DM

MB

=

DC

AB

=2，进而得到

PE

EB

=

DM

MB

=2，根据线面平行的判定定理可得线面平行．
（2）分别求出两个平面的法向量，再利用向量间的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为两个平面的二面角．

解答：解：（1）证明：以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系．
不妨设PA=PB=PC=3，则A（0，0，0），B（0，3，0），C（3，3，0），P（0，0，3），E（0，2，1）．
设D（3，y，0），则

CP

=(-3，-3，3)，

AD

=(3，y，0)，
因为CP⊥AD，
所以

CP

•

AD

=-9-3y=0，解得：y=-3．
所以DC=2AB．---（3分）
连接BD，交AC于点M，则

DM

MB

=

DC

AB

=2．
在△BPD中，

PE

EB

=

DM

MB

=2，∴PD∥EM．-（5分）
又PD?平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．----（6分）
（2）设

n1

=(x，y，z)为平面EAC的一个法向量，则

n1

⊥

AC

，

n1

⊥

AE

，
所以

3x+3y=0 2y+z=0

取z=2可得

n1

=(1，-1，2)．
设

n2

=(u，v，w)为平面EBC的一个法向量，则

n2

⊥

BC

，

n2

⊥

BE

，
又

BC

=(3，0，0)，

BE

=(0，-1，1)，∴

u=0 -v+w=0

∴可取

n2

=(0，1，1)．  （10分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞ = 

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3

6

---（11分）
依题意得：二面角A-CE-B的余弦值为-

3

6

．------（12分）

点评：夹角成立问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，以便得到线面之间的关系进而建立空间坐标系利用空间向量夹角空间角问题．