Question

5．已知函数f（x）=（x-k）e^x，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析 求导数f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，确定f（x）的单调区间，分类讨论判断f（x）在[0，1]上的单调性，由单调性可求f（x）的最大值．

解答 解：∵f（x）=（x-k）e^x，
∴f′（x）=（1+x-k）e^x，
f′（x）＞0，x＞k-1，f′（x）＜0，x＜k-1
∴k-1≥1，即k≥2，f（x）在[0，1]上单调上递增，当x=1时f（x）取得最大值为（1-k）e；
0＜k-1＜1，即1＜k＜2，x=k-1时f（x）取得最大值为e^k-1；
k-1≤0，即k≤，f（x）在[0，1]上单调上递减，当x=0时f（x）取得最大值为-k．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性、函数在闭区间上的最值，考查学生解决问题的能力，属中档题．