Question

如图，已知A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，D是AC中点．（1）证明AB₁∥平面DBC₁；（2）假设AB₁⊥BC₁，求以BC₁为棱，DBC₁与CBC₁为面的二面角α的度数．

Answer 1

分析：（1）欲证AB₁∥平面DBC₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AB₁与平面DBC₁内一直线平行，根据等腰三角形可知DE∥AB₁，又AB₁∉平面DBC₁，DE?平面DBC₁，满足定理所需条件；
（2）作DF⊥BC，垂足为F，则DF⊥面B₁BCC₁，连接EF，则EF是ED在平面B₁BCC₁上的射影，根据二面角的平面角的定义可知∠DEF是二面角α的平面角，然后在三角形DEF中求出∠DEF即可．

解答：（1）证明：
∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，∴四边形B₁BCC₁是矩形．
连接B₁C交BC₁于E，则B₁E=EC．连接DE．
在△AB₁C中，∵AD=DC，∴DE∥AB₁．
又AB₁?平面DBC₁，DE?平面DBC₁，∴AB₁∥平面DBC₁．
（2）解：作DF⊥BC，垂足为F，
则DF⊥面B₁BCC₁，连接EF，
则EF是ED在平面B₁BCC₁上的射影．
∵AB₁⊥BC₁，
由（1）知AB₁∥DE，∴DE⊥BC₁，则BC₁⊥EF，∴∠DEF是二面角α的平面角．
设AC=1，则DC=

1

2

．∵△ABC是正三角形，∴在Rt△DCF中，
DF=DC•sinC=

3

4

，CF=DC•cosC=

1

4

．取BC中点G．∵EB=EC，∴EG⊥BC．
在Rt△BEF中，
EF²=BF•GF，又BF=BC-FC=

3

4

，GF=

1

4

，
∴EF²=

3

4

•

1

4

，即EF=

3

4

．∴tan∠DEF=

DF

EF

=

3 4

3 4

=1．∴∠DEF=45°．
故二面角α为45°．

点评：本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．