Question

已知：三定点A(-

2

3

，0)，B(

2

3

，0)，C(-

1

3

，0)，动圆M线AB相切于N，且|AN|-|BN|=

2

3

，现分别过点A、B作动圆M的切线，两切线交于点P．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）直线3x-3my-2截动点P的轨迹所得弦长为2，求m的值；
（3）是否存在常数λ，使得∠PBC=λ∠PCB，若存在，求λ的值，若不存在，并请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意可推断出：|PA|-|PB|=|AN|-|BN|，进而利用双曲线的定义推断出P的轨迹为双曲线的一部分，设出双曲线的方程利用题意可求得a和c，则b可求得，进而求得双曲线的方程．
（2）设出直线与P的轨迹交与Q₁和Q₂，利用双曲线的定义表示出Q₁Q₂，把直线与双曲线的方程联立，消去y，利用韦达定理表示出x₁+x₂，求得m．
（3）先通过x=

2

3

时，求得BP，BC进而猜想出λ的值，进而看x≠

2

3

时，设出P的坐标代入椭圆的方程，表示出tan∠PCB，利用正切的二倍角公式求得tan2∠PCB，进而tan∠PBC=-tan∠PBx判断出tan2∠PCB=tan∠PBC，进而可知存在λ=2，使题设成立．

解答：解：（1）由平几知识得：|PA|-|PB|=|AN|-|BN|=

2

3

＞|AB|=

4

3

∴动点P的轨迹是A、B为焦点的双曲线（部分）
设它的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(x＞a)，则

2a= 2 3 2c= 4 3 c2=a2+b2

解得：

a2= 1 9 b2= 1 3

，故所求的方程为

x2

1 9

-

y2

1 3

=1(x＞

1

3

)
（2）设直线3x-3my-2=0与动点P的轨迹相交于是Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），
∵直线3x-3my-2=0恒过双曲线的焦点B
∴由双曲线定义知|Q₁Q₂|=e(x1+x2-

1

3

)=2(x1+x2-

1

3

)=2
∴x₁+x₂=

4

3

若m=0，则x₁=x₂=

2

3

，此时x1+x2=

4

3

，即|Q₁Q₂|=2合题意若m≠0，由

3x-3my-2=0 9x2-3y2=1

，消去y得：9x2-3(

2

3m

-

1

m

x)2=1，
化简得：（27m²-9）x²+12x-3m²-4=0，x₁+x₂=

12

9-27m2

=

4

3

解得m=0与m≠0矛盾．
∴m=0
（3）当x=

2

3

时，|BP|=1，|BC|=1，此时∠PCB=45°，∠PBC=90°
猜想λ=2
当x≠

2

3

时，设P（x，y）则{y^2}=-3(

1

9

-x2)，且tan∠PCB=

y

x+ 1 3

∴tan2∠PCB=

2•( y x+ 1 3 )

1- y2 (x+ 1 3 )2

=

2y(x+ 1 3 )

(x+ 1 3 )2-y2

=

2y(x+ 1 3 )

(x+ 1 3 )2+3( 1 9 -x2)

=

2y

4 3 -2x

=

y

2 3 -x

而tan∠PBC=-tan∠PBx=

y

x- 2 3

=

y

2 3 -x

∴tan2∠PCB=tan∠PBC
又∵0＜∠PBC＜π，0＜2＜PBC＜π
∴2∠PCB=∠PBC即存在λ=2，使得：∠PBC=λ∠PCB

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生基础知识的综合利用以及的基本的运算能力．