Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA=PB，PA⊥PB，AB⊥BC，且平面PAB⊥平面ABCD，若AB=2，BC=1， ．

（1）求证：PA⊥平面PBC；
（2）若点M在棱PB上，且PM：MB=3，求证CM∥平面PAD．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊥AB，

∴BC⊥平面PAB，又PA平面PAB，

∴BC⊥PA，

又PA⊥PB，PB∩BC=B，PB平面PBC，BC平面PBC，

∴PA⊥平面PBC．

（2）在AB上取点N，使得AN：BN=3，取AB的中点O，连结MN，CN，PO，OD，

∵ ，

∴MN∥PA．

由（1）知BC⊥平面PAB，∴BC⊥BN，

∵BN= AB= ，BC=1，∴tan∠BNC= ．

∵AD=BD= ，AB=2，O是AB的中点，

∴OD⊥AB，OA=1，OD= =2，

∴tan∠OAD= ，

∴∠BNC=∠OAD，∴CN∥AD，

又MN∩CN，PA∩AD=A，

∴平面MNC∥平面PAD．

又∵CM平面MNC，

∴CM∥平面PAD．

【解析】（1）先利用面面垂直的性质定理可证BC⊥平面PAB，进而可证BC⊥PA，再利用线面垂直的判定定理可证PA⊥平面PBC；（2）先在AB上取点N，使得AN：BN=3，取AB的中点O，连结MN，CN，PO，OD，进而可证MN∥PA，再证CN∥AD，进而可证平面MNC∥平面PAD，从而可证CM∥平面PAD．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案．