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    【题目】已知，.

    （1）求当时，的值域；

    （2）若函数在内有且只有一个零点，求的取值范围.

    【答案】（1）的值域为；（2）或.

    【解析】

    试题分析：（1）当时，，令，则，，可求的值域；（2），

    令，则当时，，，在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点，无零点.因为，∴在内为增函数，分①若在内有且只有一个零点，无零点，和②若为的零点，内无零点两种情况讨论即可.

    试题解析：（1）当时，，令，则，，

    ，当时，，当时，，所以的值域为.

    （2），

    令，则当时，，，

    ，在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点，无零点.因为，∴在内为增函数，①若在内有且只有一个零点，无零点，故只需得；

    ②若为的零点，内无零点，则，得，经检验，符合题意.

    综上，或.

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