Question

如图，在平面斜坐标系XOY中，∠xoy=θ，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若

OP

=x

e

1+y

e

2（其中

e

1，

e

2分别是X轴，Y轴同方向的单位向量）．则P点的斜坐标为（x，y），向量

OP

的斜坐标为（x，y）．有以下结论：
①若θ=60°，P（2，-1）则|

OP

|=

3

②若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)
③若

OP

=（x₁，y₁），

OQ

=（x₂，y₂），则

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2
④若θ=60°，以O为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为x²+y²+xy-1=0
其中正确的结论个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：把新定义回归到向量的数量级的运算：①可推得

OP

=2

e1

-

e2

，利用模长公式可解；②转化为向量加法的运算即可；③利用向量的数量积可得结果；④把问题转化为模长为1，按新定义可得．

解答：解：①若θ=60°，P（2，-1）则

OP

=2

e1

-

e2

，故|

OP

|=

(2 e1 - e2 )2

=

5-4×1×1× 1 2

=

3

，故正确；
②若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

OP

=x1

e1

+y1

e2

，

OQ

=x2

e1

+y2

e2

，
∴

OP

+

OQ

=(x1+x2)

e1

+(y1+y2)

e2

，即

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)，故正确；
③若

OP

=（x₁，y₁），

OQ

=（x₂，y₂），则

OP

=x1

e1

+y1

e2

，

OQ

=x2

e1

+y2

e2

，
∴

OP

•

OQ

=(x1

e1

+y1

e2

)•(x2

e1

+y2

e2

)=x₁x₂+y₁y₂+(x1y2+x2y1)

e1

•

e2

，故错误；
④若θ=60°，以O为圆心，1为半径的圆，则设圆上的任意一点P（x，y）由|

OP

|=1可得
(x

e1

+y

e2

)2=1，即x²+y²+xy-1=0，故正确．
故选C．

点评：本题为新定义，正确理解题中给出的斜坐标并与已知的向量知识相联系是解决问题的关键，属基础题．