Question

（本小题满分12分）

如图，在三棱锥D－ABC中，已知△BCD是正三角

形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E为BC的中点，

F在棱AC上，且AF＝3FC．

（1）求三棱锥D－ABC的表面积；

（2）求证AC⊥平面DEF；

（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，

使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不

存在，试说明理由．

 

Answer 1

【答案】

解（证明）（1）因为 AB⊥平面BCD，所以 AB⊥BC，AB⊥BD．

因为 △BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，所以 AD＝AC＝．

设G为CD的中点，则CG＝，AG＝．

所以 ，，．

三棱锥D－ABC的表面积为

（2）取AC的中点H，因为 AB＝BC，所以 BH⊥AC．

因为 AF＝3FC，所以 F为CH的中点．

因为 E为BC的中点，所以 EF∥BH．则EF⊥AC．

因为 △BCD是正三角形，所以 DE⊥BC．

因为 AB⊥平面BCD，所以 AB⊥DE．

因为 AB∩BC＝B，所以 DE⊥平面ABC．所以 DE⊥AC．

因为 DE∩EF＝E，所以 AC⊥平面DEF

（3）存在这样的点N，

当CN＝时，MN∥平面DEF．

连CM，设CM∩DE＝O，连OF．

由条件知，O为△BCD的重心，CO＝CM．

所以 当CF＝CN时，MN∥OF．所以 CN＝

【解析】略