【题目】已知函数f(x)=lnx﹣ax+ (a∈R).
(1)当a=﹣ 时,求函数f(x)的单调区间和极值.
(2)若g(x)=f(x)+a(x﹣1)有两个零点x1 , x2 , 且x1<x2 , 求证:x1+x2>1.
【答案】
(1)解:当a=﹣ 时,f(x)=lnx+
x+
,(x>0),求导,f′(x)=
+
﹣
=
,
令f′(x)=0,解得:x= 或x=﹣1(舍去),
当f′(x)>0,解得:x> ,
当f′(x)<0,解得:0<x< ,
∴函数的单调递增区间为( ,+∞),单调递减区间为(0,
),
∴当x= 时,函数取极小值,极小值为2﹣ln3;
(2)证明:根据题意,g(x)=f(x)+a(x﹣1)=lnx+ ﹣a,(x>0),
因为x1,x2是函数g(x)的两个零点,
∴lnx1+ ﹣a=0,lnx2+
﹣a=0,
两式相减,可得ln =
﹣
,
即ln =
,故x1x2=
.
那么x1= ,x2=
令t= ,其中0<t<1,
则x1+x2= +
=
.
构造函数h(t)=t﹣ ﹣2lnt,(0<t<1),
则h′(t)= ,
∵0<t<1,h′(t)>0恒成立,
故h(t)<h(1),即t﹣ ﹣2lnt<0,
则 >1,故x1+x2>1.
【解析】(1)当a=﹣ 时,求导,令f′(x)>0求得函数的单调递增区间,f′(x)<0即可求得函数的单调递减区间,即当x=
时,f(x)取极值;(2)求出个零点x1,x2,得到x1+x2=
+
=
.构造函数h(t)=t﹣
﹣2lnt,(0<t<1),根据函数的单调性证明即可.
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案,需要熟知求函数的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值.
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【题目】如图茎叶图记录了甲,乙两班各六名同学一周的课外阅读时间(单位:小时),已知甲班数据的平均数为13,乙班数据的中位数为17,那么x的位置应填;y的位置应填 .
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【题目】设函数f(x)=|x﹣a|+|2x+2|﹣5(a∈R). (Ⅰ)试比较f(﹣1)与f(a)的大小;
(Ⅱ)当a≥﹣1时,若函数f(x)的图象和x轴围成一个三角形,则实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=ln(ax+b)+ex﹣1(a≠0).
(1)当a=﹣1,b=1时,判断函数f(x)的零点个数;
(2)若f(x)≤ex﹣1+x+1,求ab的最大值.
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【题目】已知f(x)是定义域为(0,+∞)的单调函数,若对任意的x∈(0,+∞),都有 ,且方程|f(x)﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间(0,3]上有两解,则实数a的取值范围是( )
A.0<a≤5
B.a<5
C.0<a<5
D.a≥5
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【题目】某社区新建了一个休闲小公园,几条小径将公园分成5块区域,如图,社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域,要求每个区域随机用一种颜色的花卉,且相邻区域(用公共边的)所选花卉颜色不能相同,则不同种植方法的种数共有( )
A.96
B.114
C.168
D.240
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【题目】二分法是求方程近似解的一种方法,其原理是“一分为二、无限逼近”.执行如图所示的程序框图,若输入x1=1,x2=2,d=0.01则输出n的值( )
A.6
B.7
C.8
D.9
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【题目】已知函数f(x)= . (I)求函数f(x)的单调区间;
(II)若不等式f(x)> 恒成立,求整数k的最大值;
(III)求证:(1+1×2)(1+2×3)…(1+n(n×1))>e2n﹣3(n∈N*).
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