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10.如图,在正四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,O是AC与BD的交点,PO=1,M是PC的中点.
(1)设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{c}$,用$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$表示向量$\overrightarrow{BM}$;
(2)在如图的空间直角坐标系中,求向量$\overrightarrow{BM}$的坐标.

分析 (1)利用向量的三角形法则可得:$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}$,$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{CP}$,$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$,代入化简即可得出.
(2)由于$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AB}$=(1,0,0),$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{AD}$=(0,1,0),$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$=(0,0,1),代入即可得出.

解答 解:(1)∵$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}$,$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{CP}$,$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$,
∴$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC})$
=$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}$-$\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$.
(2)$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AB}$=(1,0,0),$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{AD}$=(0,1,0),
∵O$(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$,P$(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1)$.
∴$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$=(0,0,1),
∴$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$=$\frac{1}{2}$(0,1,0)+$\frac{1}{2}$(0,0,1)-$\frac{1}{2}$(1,0,0)
=$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.

点评 本题考查了向量的三角形法则、向量坐标运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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