已知数列是首项为,公比的等比数列.设,,数列满足;
(Ⅰ)求证:数列成等差数列;
(Ⅱ)求数列的前项和;
(Ⅲ)若对一切正整数恒成立,求实数的取值范围.
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)或 .
解析试题分析:(Ⅰ) 本小题首先数列是首项为,公比的等比数列求得数列的通项公式,再代入即可求得数列的通项公式,然后根据等差数列的定义来判断其为等差数列;
(Ⅱ) 本小题首先求得数列的通项公式,分析可知对其求和需用错位相减求和的方法,于是求得该数列的前项和;
(Ⅲ)本小题首先分析对一切正整数恒成立,等价于,于是就分析数列的单调性,求得其的最大项,代入解不等式即可.
试题解析:(Ⅰ)由已知可得,,
为等差数列,其中. 5分
(Ⅱ)
①
②
-②得
9分
(Ⅲ)
当时,,当时,
,
若对一切正整数恒成立,则即可
,即或. 14分
考点:1.等差等比数列;2.错位相减求和;3.恒成立问题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设等比数列的首项为,公比为(为正整数),且满足是与的等差中项;数列满足().
(1)求数列的通项公式;
(2)试确定的值,使得数列为等差数列;
(3)当为等差数列时,对每个正整数,在与之间插入个2,得到一个新数列. 设是数列 的前项和,试求满足的所有正整数.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知数列为等差数列,数列为等比数列且公比大于1,若,,且恰好是一各项均为正整数的等比数列的前三项.
(1)求数列,的通项公式;
(2)设数列满足,求.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知数列的前项的和为,点在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式及的最大值;
(2)令,求数列的前项的和;
(3)设,数列的前项的和为,求使不等式对一切都成立的最大正整数的值.
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