Question

在等比数列{a_n}中，a₁最小，且a₁+a_n=66，a₂•a_n-1=128，前n项和S_n=126，（1）．求公比q；（2）．求n．

Answer 1

解：（1）∵{a_n}成等比数列，∴a₁•a_n=a₂•a_n-1=128，
∵a₁+a_n=66
∴a₁、a_n是方程x²-66x+128=0的两个实数根，
解方程x²-66x+128=0，得：x₁=2，x₂=64；
又a₁最小，∴a₁=2，a_n=64；
又S_n=126，
∴由从而得：，即q=2；
（2）由a_n=a₁q^n-1得：2×2^n-1=64，
∴n=6．
分析：（1）设a_n=a₁q^n-1，用a_n和a₁表示出a₂•a_n-1根据韦达定理推知a₁和a_n是方程x²-66x+128=0的两根，求得a₁和a_n进而求得q^n-1，把a₁和a_n代入S_n=126，进而求得q，
（2）把q代入q^n-1=32，求得n．
点评：本题主要考查等比数列的性质以及等比数列的通项公式和前n项和公式．解题的过程中巧妙的利用了一元二次方程中的韦达定理是解题的关键，属基础题．