Question

1．已知二次函数f（x）=ax²+bx+1和函数g（x）=$\frac{bx-1}{{{a^2}x+2b}}$，且a＞0．
（1）若g（x）是奇函数，试求f（x）在R上的值域；
（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当b＞0时，判断f（x）在（-1，1）上的单调性；
（3）若方程g（x）=x的两实根为x₁，x₂，f（x）=0的两根为x₃，x₄，求使x₃＜x₁＜x₂＜x₄成立的a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数g（x）为奇函数可得b=0，得到f（x）=ax²+1，结合二次函数的性质可得答案；
（2）由方程g（x）=x有两个不相等的实根，可得△=b²-4a²＞0，即$\frac{b}{2a}$＞1或$\frac{b}{2a}$＜-1，再结合二次函数的性质即可判断函数f（x）的单调性；
（3）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{x}^{2}+bx+1=0}\\{a{x}^{2}+bx+1=0}\end{array}\right.$，设α为x₁与x₂中的一个数，则有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{（α-{x}_{3}）（α-{x}_{4}）＜0}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{{α}^{2}+\frac{b}{a}α+\frac{1}{a}＜0}\end{array}\right.$．再分a＞0与a＜0两种情况讨论，进而结合等式与不等式得到关于a的不等式，进而求出a的范围得到答案．

解答 解：（1）因为g（x）为奇函数，
所以g（-x）=-g（x），
又函数g（x）=$\frac{bx-1}{{{a^2}x+2b}}$，
则$\frac{-bx-1}{-{a}^{2}x+2b}$=-$\frac{bx-1}{{{a^2}x+2b}}$，
化简可得b=0，
所以f（x）=ax²+1，定义域为R，
所以函数f（x）的值域为[1，+∞）；
（2）由方程g（x）=x整理可得a²x²+bx+1=0，
因为方程g（x）=x有两个不相等的实根，
所以△=b²-4a²＞0，即|$\frac{b}{2a}$|＞1，即$\frac{b}{2a}$＞1或$\frac{b}{2a}$＜-1，
又因为函数f（x）=ax²+bx+1的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$，并且a＞0，
所以当-$\frac{b}{2a}$＜-1时，f（x）在（-1，1）上是增函数；
当-$\frac{b}{2a}$＞1时，f（x）在（-1，1）上是减函数．
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{g（x）=x}\\{f（x）=0}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{x}^{2}+bx+1=0}\\{a{x}^{2}+bx+1=0}\end{array}\right.$，
设α为x₁与x₂中的一个数，
则有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{（α-{x}_{3}）（α-{x}_{4}）＜0}\end{array}\right.$，
因为x₃+x₄=-$\frac{b}{a}$，x₃x₄=$\frac{1}{a}$，
所以有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{{α}^{2}+\frac{b}{a}α+\frac{1}{a}＜0}\end{array}\right.$．
当a＞0时有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{a{α}^{2}+bα+1＜0}\end{array}\right.$，
所以结合两式可得（a-a²）α²＜0，
解得：a＞1或a＜0（舍去）．
当a＜0时有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{a{α}^{2}+bα+1＞0}\end{array}\right.$，
所以所以结合两式可得（a-a²）α²＞0，
解得：0＜a＜1（舍去）．
综上可得a的取值范围为（1，+∞）．

点评 本题主要考查函数的奇偶性与函数的单调性，以及一元二次方程的根的分布与系数的关系，此题综合性比较强，考查了数学上一个重要的思想方法即分类讨论的思想方法，此题属于难题．