【题目】已知定义域为R的函数f(x)= 是奇函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对任意t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范围.
【答案】
(1)解:因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(0)=0,
所以f(0)= =0,所以b=1,
因为f(x)= ,
所以f(﹣x)= = .
因为f(﹣x)=﹣f(x),
所以 = ,
所以(2﹣a)(1﹣2x)=0,
所以a=2,
所以f(x)=
(2)解:因为f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,
所以f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)恒成立,
因为f(x)为R上的奇函数,
所以f(t2﹣2t)<f(﹣2t2+k)恒成立,
因为函数f(x)在R上单调递减,
所以t2﹣2t>﹣2t2+k恒成立,所以k<3t2﹣2t恒成立,
又因为g(t)=3t2﹣2t在R上最小值为
k<﹣
【解析】(1)在R上的奇函数,f(0)=0求参数;(2)不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,转化为k<(3t2﹣2t)min求解.
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【题目】已知袋中放有形状大小相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球个,从袋中随机抽取一个小球,取到标号为2的小球的概率为,现从袋中不放回地随机取出2个小球,记第一次取出的小球标号为,第二次取出的小球标号为.
(1)记“”为事件,求事件发生的概率.
(2)在区间上任取两个实数,求事件 “恒成立”的概率.
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【题目】为丰富人民群众业余生活,某市拟建设一座江滨公园,通过专家评审筛选处建设方案A和B向社会公开征集意见,有关部分用简单随机抽样方法调查了500名市民对这两种方案的看法,结果用条形图表示如下:
(1)根据已知条件完成下面列联表,并用独立性检验的方法分析,能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是否选择方案A和年龄段有关?
(2)根据(1)的结论,能否提出一个更高的调查方法,使得调查结果更具代表性,说明理由.
附:
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【题目】设椭圆的焦点在轴上,离心率为,抛物线的焦点在轴上, 的中心和的顶点均为原点,点在上,点在上,
(1)求曲线, 的标准方程;
(2)请问是否存在过抛物线的焦点的直线与椭圆交于不同两点,使得以线段为直径的圆过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种相互转化,相互统一的和谐美.定义:能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”.下列有关说法中:
①对圆的所有非常数函数的太极函数中,一定不能为偶函数;
②函数是圆的一个太极函数;
③存在圆,使得是圆的太极函数;
④直线所对应的函数一定是圆的太极函数.
所有正确说法的序号是__________.
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【题目】已知函数()将的图象向右平移两个单位,得到函数的图象.
(1)求函数的解析式;
(2)若方程在上有且仅有一个实根,求的取值范围;
(3)若函数与的图像关于直线对称,设,已知对任意的恒成立,求的取值范围.
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【题目】已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0.
(1)当该方程的一个根为1时,求a的值及该方程的另一根;
(2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
(3)设该方程的两个实数根分别为x1 , x2 , 若2(x1+x2)+x1x2+10=0,求a的值.
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