Question

现有楼房一幢，室内面积共计174m²，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18m²，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15m²，可以住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．但用于装修筹款不得超过7800元，且游客能住满客房，设分割大房间为x间，小房间为y间，收益为z元
（1）写出目标函数z的表达式；
（2）写出x，y所满足的线性约束条件；
（3）求x，y各为多少时能获得最大收益？最大收益是多少？

Answer 1

分析：（1）根据大房间可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间可以住游客3名，每名游客每天住宿费50元，可求目标函数z的表达式；
（2）利用室内面积共计174m²，用于装修筹款不得超过7800元，可得线性约束条件；
（3）作出可行域，明确目标函数的意义，即可求得结论．

解答：解：设分割大房间为x间，小房间为y间，收益为z元
根据题意得：
（1）z=200x+150y
（2）

18x+15y≤174 1000x+600y≤7800 x，y∈N

⇒

6x+5y≤58 5x+3y≤39 x，y∈N

（3）作出约束条件表示的平面区域
把目标函数z=200x+150y=50（4x+3y）
作直线l：4x+3y=0
平移直线l，直线越往上移，z越大，所以当直线经过M点时，z的值最大，
解方程组

6x+5y=58 5x+3y=39

得M（3，8），
最优解是整数解，当直线过M（3，8）时z最大，
∴当x=3，y=8时，z _max=1800

点评：本题考查线性规划知识，考查目标函数，线性约束条件的确定，考查数形结合的数学思想，属于中档题．