Question

如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

(1)证明：PQ⊥平面DCQ；
(2)求棱锥Q­ABCD的体积与棱锥P­DCQ的体积的比值．

Answer 1

(1)祥见解析； (2)１．

试题分析：(1)要证直线与平面垂直，只须证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可，注意到QA⊥平面ABCD，所以有平面PDAQ⊥平面ABCD，且交线为AD，又因为四边形ABCD为正方形，由面面垂直的性质可得DC⊥平面PDAQ，从而有PQ⊥DC，又因为PD∥QA，且QA＝AB＝PD ，所以四边形PDAQ为直角梯形，利用勾股定理的逆定理可证PQ⊥QD；从而可证 PQ⊥平面DCQ；(2)设AB＝a，则由(1)及已知条件可用含a的式子表示出棱锥Q－ABCD的体积和棱锥P－DCQ的体积从而就可求出其比值．
试题解析：(1)证明：由条件知PDAQ为直角梯形．
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，
所以DC⊥平面PDAQ.可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，
则PQ⊥QD.所以PQ⊥平面DCQ.
(2)设AB＝a.由题设知AQ为棱锥Q­ABCD的高，所以棱锥Q－ABCD的体积V₁＝a³.
由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高，而PQ＝a，△DCQ的面积为a²，
所以棱锥P－DCQ的体积V₂＝a³.
故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1.