【题目】已知a、b∈R,向量 =(x , 1), =(﹣1,b﹣x),函数f(x)=a﹣ 是偶函数.
(1)求b的值;
(2)若在函数定义域内总存在区间[m,n](m<n),使得y=f(x)在区间[m,n]上的函数值组成的集合也是[m,n],求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:由已知可得, ,且函数的定义域为
D= .
又y=f(x)是偶函数,故定义域D关于原点对称.
于是,b=0.
又对任意x∈D有f(x)=f(﹣x)
因此所求实数b=0.
(2)解:由(1)可知, (D=(﹣∞,0)∪(0,+∞).
考察函数 的图象,可知:f(x)在区间(0,+∞)上增函数.
f(x)在区间(﹣∞,0)上减函数
因y=f(x)在区间[m,n]上的函数值组成的集合也是[m,n],故必有m,n同号.
①当0<m<n时,f(x)在 区间[m,n]上是增函数有 ,即方程 ,也就是2x2﹣2ax+1=0有两个不相等的正实数根,因此 ,解得 .
②当m<n<0时,f(x)区间[m,n]上是减函数有 ,化简得(m﹣n)a=0,
解得a=0.
综上所述,所求实数a的取值范围a=0或 .
【解析】(1)利用向量的数量积公式求出f(x),利用偶函数的定义列出方程f(x)=f(﹣x)恒成立,求出b的值.(2)先判断出f(x)的单调性,对x分段讨论求出函数f(x)的最值,列出方程组,求出a 的值.
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【题目】已知函数f(x)=x2﹣4x+a+3,g(x)=mx+5﹣2m
(1)当a=﹣3,m=0时,求方程f(x)﹣g(x)=0的解;
(2)若方程f(x)=0在[﹣1,1]上有实数根,求实数a的取值范围;
(3)当a=0时,若对任意的x1∈[1,4],总存在x2∈[1,4],使f(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知分别为椭圆的上、下焦点, 是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)与圆相切的直线交椭圆于,
若椭圆上一点满足,求实数的取值范围.
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【题目】某班学生进行了三次数学测试,第一次有8名学生得满分,第二次有10名学生得满分,第三次有12名学生得满分,已知前两次均为满分的学生有5名,三次测试中至少又一次得满分的学生有15名.若后两次均为满分的学生至多有名,则的值为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
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【题目】对于在区间[m,n]上有意义的两个函数f(x)与g(x),如果对任意x∈[m,n]均有|f(x)﹣g(x)|≤1,则称f(x)与g(x)在[m,n]上是接近的;否则称f(x)与g(x)在[m,n]上是非接近的.现有两个函数f1(x)=loga(x﹣3a),与f2(x)=loga (a>0,a≠1),给定区间[a+2,a+3].
(1)若f1(x)与f1(x)在给定区间[a+2,a+3]上都有意义,求a的取值范围;
(2)讨论f1(x)与f1(x)在给定区间[a+2,a+3]上是否是接近的?
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