Question

已知函数f（x）=x³-

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x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
（1）求b的值；
（2）若当x∈[1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围；
（3）c为何值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．

Answer 1

（1）∵f（x）=x³-

1

2

x2+bx+c，
∴f′（x）=3x²-x+b，…．（1分）
∵f（x）在x=1处取极值，
∴f′（1）=0…（2分）
∴3-1+b=0
即b=-2…（3分）
（2）由（1）可得f′（x）=3x²-x-2
令f′（x）=0，则x=-

2

3

，或x=1…..（4分）
∵x∈（-∞，-

2

3

）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（-

2

3

，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）单调递增…（5分）
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）的最大值为f（2）=2+c＜c²，…（6分）
∴c＞2，或c＜-1…（7分）
（3）由（1）、（2）可知：
f（x）的极大值为f（-

2

3

）=

22

27

+c，
f（x）的极小值为f（1）=c-

3

2

…（8分）
∵当f（-

2

3

）＜0，或f（1）＞0时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点…．（9分）
∴

22

27

+c＜0，或c-

3

2

＞0，
即c＜-

22

27

，或c＞

3

2

时，
曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点…（10分）