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设函数f(x)=x-a(x+1)ln(x+1),(a≥0).
(1)如果a=1,求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若函数f(x)在区间(-1,e-1)上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)证明:当m>n>0时,(1+m)n<(1+n)m

(1)解:函数f(x)的定义域为(-1,+∞)(1分)
f′(x)=1-aln(x+1)-a(2分)
当a=1时,f′(x)=-ln(x+1)
当x>0时,f′(x)<0.
所以f(x)的单调递减区间为(0,+∞).(4分)
(2)解:①当a=0时,f′(x)=1>0
∴f(x)在(-1,+∞)上是增函数 (5分)
②当a>0时,令
当f′(x)>0时,得
所以f(x)的递增区间为(7分)
又因为f(x)在区间(-1,e-1)上单调递增
所以,由此得(8分)
综上,得(9分)
(3)要证:(1+m)n<(1+n)m
只需证nln(1+m)<mln(1+n),
只需证
,(10分)
(11分)
由(1)知:即当a=1时,f(x)=x-(1+x)ln(1+x),在(0,+∞)单调递减,
即x>0时,有f(x)<f(0),-------(12分)
∴x-(1+x)ln(1+x)<0,所以g′(x)<0,
即g(x)是(0,+∞)上的减函数,(13分)
即当m>n>0时,g(m)<g(n),
故原不等式成立. (14分)
分析:(1)确定函数的定义域,求导函数,从而确定f(x)的单调递减区间;
(2)先确定函数的单调递增区间,再根据f(x)在区间(-1,e-1)上单调递增,建立不等式,从而可求实数a的取值范围;
(3)根据要证明的结论,利用分析法来证明本题,从结论入手,要证结论只要证明后面这个式子成立,两边取对数,构造函数,问题转化为只要证明函数在一个范围上成立,利用导数证明函数的性质.
点评:本题重点考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明,考查化归思想,考查构造函数,是一个综合题,解题时确定函数的单调性是关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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设函数f(x)的定义域为A,若存在非零实数t,使得对于任意x∈C(C⊆A),有x+t∈A,且f(x+t)≤f(x),则称f(x)为C上的t低调函数.如果定义域为[0,+∞)的函数f(x)=-|x-m2|+m2,且 f(x)为[0,+∞)上的10低调函数,那么实数m的取值范围是(  )
A、[-5,5]
B、[-
5
5
]
C、[-
10
10
]
D、[-
5
2
5
2
]

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x)恒成立;当x∈[0,1]时,f(x)=x3-4x+3.有下列命题:
f(-
3
4
) <f(
15
2
)

②当x∈[-1,0]时f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列;
④关于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7个不同的根.
其中真命题的个数为(  )

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科目:高中数学 来源:徐州模拟 题型:解答题

设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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