Question

20．一个与正四棱锥的底面平行的平面把正四棱锥截成两部分，一部分是棱锥，一部分是棱台，已知被截得的棱台的上、下底面的边长分别是方程x²-6x+8=0的两根，且截得的棱台的侧面积等于此棱台上、下底面面积之和，则该四校锥的高为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{8}{3}$
• D． $\frac{10}{3}$

Answer 1

分析 解方程得出棱台的上下底面边长，根据面积关系和比例关系求出棱台的高和小棱锥的高．

解答 解：解方程x²-6x+8=0得x=2或x=4，
∴截得的小棱锥的底面边长是2，截得的棱台的上下底面边长分别为2，4．
设棱台的斜高为h，截得小棱锥的高为h′，
则4×$\frac{1}{2}$（2+4）h=2²+4²=20，且$\frac{h′}{h′+h}=\frac{2}{4}$
∴h=h′=$\frac{5}{3}$．
∴原来四棱锥的高为h+h′=$\frac{10}{3}$．
故选D．

点评 本题考查了棱锥和棱台的结构特征，画出草图帮助观察各线段的关系比较重要．