Question

已知函数f（x）=x+

4

x

（1）用定义证明函数f（x）在（0，2）上为减函数；
（2）若x∈[1，2]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的解析式，对任意的0＜x₁＜x＜2，计算f（x₁）-f（x₂）＞0，可得函数f（x）在[1，2]上为减函数．
（2）根据f（x）在[1，2]上为减函数，求得f（x）在[1，2]上的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=x+

4

x

，
对任意的0＜x₁＜x＜2，
f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=(x1-x2)×

x1x2-4

x1x2

，
由题设可得，0＜x₁＜x₂＜2，0＜x₁x₂＜4，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）在[1，2]上为减函数．
（2）由（1）得f（x）在[1，2]上为减函数． 
f（x）_max=f（1）=5，f（x）_min=f（2）=4，
故f（x）在[1，2]上的值域为[4，5]．

点评：本题主要考查函数的单调性的证明、函数的单调性的应用，属于中档题．