Question

1．如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为1正方体．
（1）求证：B₁D₁∥面C₁BD；
（2）求证：A₁C⊥平面C₁BD．

Answer 1

分析 （1）根据正方体的几何特征可得B₁D₁∥BD，结合线面平行的判定定理，即可得到B₁D₁∥平面C₁BD；
（2）连接AC，交BD于O，则BD⊥AC，结合A₁A⊥BD，由线面垂直的判定定理得BD⊥平面A₁AC，进而BD⊥A₁C，连接C₁O，可证得A₁C⊥C₁O，再利用线面垂直的判定定理即可得到A₁C⊥平面C₁BD；

解答 解：（1）∵B₁D₁∥BD，
又BD?平面C₁BD，B₁D₁?平面C₁BD，
∴B₁D₁∥平面C₁BD．…（2分）
（2）连接AC，交BD于O，则BD⊥AC．
又A₁A⊥BD，
∴BD⊥平面A₁AC．
∵A₁C?平面A₁AC，BD⊥A₁C．
连接C₁O，在矩形A₁C₁CA中，设A₁C交C₁O于M．
由$\frac{{A}_{1}A}{AC}$=$\frac{OC}{C{C}_{1}}$，知∠ACA₁=∠CC₁O．
∴∠C1OC+A1CO=∠C1OC+∠CC1O=$\frac{π}{2}$，
∴∠CMO=$\frac{π}{2}$，
∴A₁C⊥C₁O．
又CO∩BD=0，CO?平面C₁BD，BD?平面C₁BD，
∴A₁C⊥平面C₁BD．…（7分）

点评 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是根据正方体的几何特征得B₁D₁∥BD，（2）的关键是得到BD⊥A₁C，A₁C⊥C₁O．