Question

定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A、B为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．给出如下四个命题：①对于给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数；③g（x）=2x为函数f（x）=|3x|的一个承托函数；④为函数f（x）=x²的一个承托函数．其中正确的命题有________．

Answer 1

①③
分析：函数g（x）=Ax+B（A，B为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点）①举例可以说明，如f（x）=cosx，则g（x）=B（B＜-1）就是它的一个承托函数，且有无数个，反例如
y=tanx或y=lgx就没有承托函数；②f（x）=2x+3的定义域和值域都是R，存在一个承托函数y=2x+1，故命题②不正确；③要说明g（x）=2x为函数f（x）=|3x|的一个承托函数；即证明F（x）=e^x-2x的图象恒在x轴上方；④举反例即可．
解答：①如f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜-1）就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanx．y=lgx就没有承托函数，∴命题①正确；
②f（x）=2x+3的定义域和值域都是R，存在一个承托函数y=2x+1，故命题②不正确；
③令F（x）═|3x|-2x=，
可见在x≥0时，函数F（x）单调递增，最小值F（0）=0，
在x＜0时，函数F（x）单调递减，最小值大于F（0）=0，
∴F（x）≥0在R上恒成立，符合定义
∴命题③正确；
④x=1时，g（1）=，f（1）=1，显然g（1）＜f（1），
当x=时，g（ ）=，f（ ）=，显然g（ ）＞f（ ），
命题④不正确．
故答案为：①③
点评：本题是新定义题，考查对题意的理解和转化的能力，要说明一个命题是正确的，必须给出证明，如③，对于存在性命题的探讨，只需举例说明即可，如①，对于不正确的命题，举反例即可，如②③，属于中档题．