【题目】如图,在三棱柱中,侧面底面,四边形是边长为2的菱形,,,,E,F分别为AC,的中点.
(1)求证:直线EF∥平面;
(2)设分别在侧棱,上,且,求平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比.
【答案】(1)见解析(2)(或者)
【解析】
(1)取A1C1的中点G,连接EG,FG,证明FG∥A1B1.推出FG∥平面ABB1A1.同理证明EG∥平面ABB1A1,从而平面EFG∥平面然后证明直线EF∥平面ABB1A1;
(2)证明BE⊥AC.推出BE⊥平面ACC1A1.求出四棱锥B﹣APQC的体积,棱柱ABC﹣A1B1C1的体积,即可得到面BPQ分棱柱所成两部分的体积比.
(1)取的中点G,连接EG,FG,
由于E,F分别为AC,的中点,
所以FG∥.又平面,平面,
所以FG∥平面.
又AE∥且AE=,
所以四边形是平行四边形.
则∥.又平面,平面,
所以EG∥平面.
所以平面EFG∥平面.又平面,
所以直线EF∥平面.
(2)四边形APQC是梯形,
其面积 .
由于,E分别为AC的中点.
所以.
因为侧面底面,
所以平面.
即BE是四棱锥的高,可得.
所以四棱锥的体积为.
棱柱的体积.
所以平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比为(或者).
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【题目】给出下列四个命题
①已知为椭圆上任意一点,,是椭圆的两个焦点,则的周长是8;
②已知是双曲线上任意一点,是双曲线的右焦点,则;
③已知直线过抛物线的焦点,且与交于,,,两点,则;
④椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点,是它的焦点,长轴长为,焦距为,若静放在点的小球(小球的半径忽略不计)从点沿直线出发则经椭圆壁反射后第一次回到点时,小球经过的路程恰好是.
其中正确命题的序号为__(请将所有正确命题的序号都填上)
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【题目】已知平面上的线段及点,任取上一点,线段长度的最小值称为点到线段的距离,记作.请你写出到两条线段,距离相等的点的集合,,,其中,,,,,是下列两组点中的一组.对于下列两种情形,只需选做一种,满分分别是① 3分;② 5分.① ,,,;② ,,,.你选择第_____种情形,到两条线段,距离相等的点的集合_____________.
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【题目】对于函数,若存在区间,使得,则称函数为“可等域函数”,区间为函数的一个“可等域区间”.给出下列4个函数:
①;②; ③; ④.
其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为( )
(A)①②③ (B)②③ (C)①③ (D)②③④
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【题目】已知椭圆:的左、右焦点分别为,,过且垂直于轴的焦点弦的弦长为,过的直线交椭圆于,两点,且的周长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线,互相垂直,直线过且与椭圆交于点,两点,直线过且与椭圆交于,两点.求的值.
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【题目】如图①,有一个长方体形状的敞口玻璃容器,底面是边长为20cm的正方形,高为30cm,内有20cm深的溶液.现将此容器倾斜一定角度(图②),且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上(图①、②均为容器的纵截面).
(1)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,角的最大值是多少?
(2)现需要倒出不少于的溶液,当时,能实现要求吗?请说明理由.
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【题目】已知椭圆: 的离心率,左、右焦点分别为, ,点满足: 在线段的中垂线上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若斜率为()的直线与轴、椭圆顺次相交于点、、,且,求的取值范围.
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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线交于两点,且设定点,求的值.
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