Question

已知函数f（x）=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|．
（1）作出函数f（x）的图象，并求当x＞0时a^x＞f（x）恒成立的a取值范围；
（2）关于x的方程kf²（x）-3kf（x）+6（k-5）=0有解，求实数k的取值范围；
（3）关于x的方程f²（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，求m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,根的存在性及根的个数判断

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）f（x）=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=

- 2 x ，x∈(-∞，-1) -2x，x∈[-1，0) 2x，x∈(0，1] 2 x ，x∈(1，+∞)

，作出函数f（x）的图象，依题意，得a^x＞f（x）_max=2，从而可求a取值范围；
（2）原方程有解，等价于方程k（t²-3t+6）=30在t∈（0，2]上有解，分离参数k，利用基本不等式即可求得实数k的取值范围；
（3）依题意，f²（x）+mf（x）+n=0有6个不同的解，数形结合可知必有f₁（x）=2和f₂（x）=t，t∈（0，2]，令u=f（x），则关于u的方程g（u）=u²+mu+n=0有一根为2，另一根在（0，2]间，解相应的不等式组即可．

解答： 解：（1）f（x）=

- 2 x ，x∈(-∞，-1) -2x，x∈[-1，0) 2x，x∈(0，1] 2 x ，x∈(1，+∞)

  …（2分）
（作图如下：）
…（4分）
已知当x＞0时a^x＞f（x），即a^x＞f（x）_max=2⇒a＞2…（6分）
（2）kf²（x）-3kf（x）+6（k-5）=0有解，令f（x）=t，则t∈（0，2]…（7分）
即方程k（t²-3t+6）=30在t∈（0，2]上有解…（8分）
当t∈（0，2]时，t²-3t+6≠0，
∴k=

30

t2-3t+6

=

30

(t- 3 2 )2+ 15 4

∈（5，8]…（12分）
（3）关于x的方程f²（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，即f²（x）+mf（x）+n=0有6个不同的解，…（13分）
数形结合可知必有f₁（x）=2和f₂（x）=t，t∈（0，2]…（14分）
令u=f（x），则关于u的方程g（u）=u²+mu+n=0有一根为2，另一根在（0，2]间…（15分）
由

2m+n+4=0 g(0)＞ - m 2 ∈(0，2) m2-4n＞0

⇒m∈（-4，-2）…（18分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查根的存在性及根的个数判断，考查分类讨论思想、等价转化思想、方程思想与综合运算能力，属于难题．