Question

.圆C的半径为3，圆心C在直线2x+y=0上且在x轴的下方，x轴被圆C截得的弦长BD为2

5

．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆E与圆C关于直线2x-4y+5=0对称，试判断两圆的位置关系．

Answer 1

分析：（1）由题意可设方程为（x-a）²+（y+2a）²=9，由条件可得a=1，进而可得方程；（2）设圆心E（m，n），由对称关系可得

m=-2 n=4

，半径为3，可得|EC|=3

5

＞6，故相离．
解法二，先得圆C与直线2x-4y+5=0相离，进而可得对称的圆与已知圆相离．

解答：解：（1）由题意设圆心坐标（a，-2a）---（1分），则圆方程为（x-a）²+（y+2a）²=9----（2分）
作CA⊥x轴于点A，在Rt△ABC中，CB=3，AB=

5

，∴CA=2，-------（4分）
所以|-2a|=2，解得a=±1-----------（5分）
又因为点C在x轴的下方，所以a=1，即C（1，-2）-----------（6分）
所以圆方程为：（x-1）²+（y+2）²=9------------（7分）
（2）设圆心E（m，n），由题意可知点E与点C是关于直线2x-4y+5=0对称，
所以有

2× 1+m 2 -4× n-2 2 +5=0 n+2 m-1 × 1 2 =-1

--------（9分）可解得

m=-2 n=4

-------------（11分）
所以点E（-2，4）且圆E的半径为3--------（12分）
所以|EC|=

(-2-1)2+(4+2)2

=3

5

＞6，----（13分）
故两圆为相离关系---------------（14分）
解法二：点C（1．-2）到直线的距离为d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

=

|2+8+5|

4+16

=

3 5

2

＞3-------（9分）
所以圆C与直线2x-4y+5=0相离-----（11分）
而圆E与圆C关于直线2x-4y+5=0对称，
所以圆E与直线2x-4y+5=0也相离，------（13分）   
 故两圆相离．-------（14分）

点评：本题考查直线和圆的位置关系，以及对称问题，属中档题．