Question

5．等差数列{a_n}的公差d∈（-1，0），$\frac{si{n}^{2}{a}_{3}-co{s}^{2}{a}_{3}+co{s}^{2}{a}_{3}co{s}^{2}{a}_{6}-si{n}^{2}{a}_{3}si{n}^{2}{a}_{6}}{sin（{a}_{2}+{a}_{7}）}$=1，且a₁=$\frac{4π}{5}$，则使得数列{a_n}的前n项和S_n＞0的n的最大值为（　　）

• A． 11
• B． 10
• C． 9
• D． 8

Answer 1

分析 运用二倍角公式和两角和差的余弦公式以及积化和差、和差化积公式的运用，结合等差数列的通项，可得sin3d=-1，3d=-$\frac{π}{2}$，即为d=-$\frac{π}{6}$，运用等差数列的求和公式，结合二次不等式的解法，化简计算即可得到n的最大值．

解答 解：由$\frac{si{n}^{2}{a}_{3}-co{s}^{2}{a}_{3}+co{s}^{2}{a}_{3}co{s}^{2}{a}_{6}-si{n}^{2}{a}_{3}si{n}^{2}{a}_{6}}{sin（{a}_{2}+{a}_{7}）}$=1，
可得-cos2a₃+（cosa₃cosa₆+sina₃sina₆）（cosa₃cosa₆-sina₃sina₆）=sin（a₂+a₇），
即为cos（a₃-a₆）cos（a₃+a₆）-cos2a₃=sin（a₃+a₆），
$\frac{1}{2}$cos2a₃+$\frac{1}{2}$cos2a₆-cos2a₃=sin（a₃+a₆），
$\frac{1}{2}$（cos2a₆-cos2a₃）=sin（a₃+a₆），
即有-sin（a₃+a₆）sin（a₆-a₃）=sin（a₃+a₆），
由公差d∈（-1，0），且a₁=$\frac{4π}{5}$，
则sin（a₆-a₃）=-1，
即有sin3d=-1，
3d=-$\frac{π}{2}$，即为d=-$\frac{π}{6}$，
则数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{4π}{5}$•n-$\frac{1}{2}$n（n-1）•$\frac{π}{6}$，
由S_n＞0可得0＜n＜$\frac{53}{5}$，
即有n的最大值为10．
故选B．

点评 本题考查等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查三角函数的恒等变换公式的运用，以及二次不等式的解法，属于中档题．