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已知函数f(x)=
13
x3-(a+1)x2+4ax
,((a∈R)).
(Ⅰ)若函数y=f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,在区间(0,1)上单调递减,求实数a的值;
(Ⅱ)若常数a<1,求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值;
(Ⅲ)已知a=0,求证:对任意的m、n,当m<n≤1时,总存在实数t∈(m,n),使不等式f(m)+f(n)<2f(t)成立.
分析:(Ⅰ)已知函数f(x)=
1
3
x3-(a+1)x2+4ax
,求出其导数f′(x),因为函数y=f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在区间(-∞,0)上f′(x)>0,从而求出a的值;
(Ⅱ)由题意常数a<1,令f′(x)=0,得f(x)的极值点,然后求出函数f(x)的单调区间,从而求出函数f(x)在区间[0,2]上的最大值;
(Ⅲ)假设存在,取t=
m+n
2
,然后代入函数f(x)进行计算,看是否存在.
解答:解:f(x)′=x2-2(a+1)x+4a,
(Ⅰ)因为函数y=f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,(0,1)上单调递减,
∴f′(0)=4a=0,∴a=0,
又当a=0时,f′(x)=x2-2x,∴当x<0时,f′(x)>0,f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,
当0<x<1时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,1)上单调递减.
综上,a=0时,y=f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,在区间(0,1)上是减函数.
(Ⅱ)令f′(x)=0,得x1=2a,x2=2.
因为a<1
∴x1<x2
当x变化时,f(x),f′(x)的值的变化情况如下:
当x<2a时,f′(x)>0,f(x)为增函数;
当2a<x<2时,f′(x)<0,f(x)为减函数;
当x>2时,f′(x)>0,f(x)为增函数;
注意到x∈[0,2],
∴当a≤0时,f(x)在区间[0,2]上单调递减,f(x)的最大值为f(0)=0,
当0<a<1时,f(x)在区间[0,2a]上单调递增,在区间[2a,2]上单调递减,
∴f(x)的最大值为f(2a)=4a2-
4
3
a3

(Ⅲ)取t=
m+n
2

∵f(m)+f(n)-2f(
m+n
2
)=
1
3
m3-m2+
1
3
n3-n2-
1
12
(m+n)3+
1
2
(m+n)2=
1
4
[m3+n3-m2n-mn2-2(m-n)3]=
1
4
(m-n)2(m+n-2),
∵m<n≤1,得(m-n)2>0,m+n-2<0,
∴f(m)+f(n)-2f(
m+n
2
)<0,
∴存在t=
m+n
2
∈(m,n)(n≤1),
使不等式f(m)+f(n)<2f(t)成立.
点评:此题主要考查多项式函数的导数,函数单调性的判定,函数最值,函数、方程与不等式等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力,考查数形结合的思想、分类与整合思想,化归与转化思想、有限与无限的思想.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)、已知函数f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函数f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的图象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一个函数g(x)的图象,求g(x)的解析式.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同时满足条件:
①?x0∈(0,+∞),x0为f(x)的一个极大值点;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
则实数a的取值范围是(  )

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已知函数f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函数在区间(a,a+
1
2
)
上存在极值,求实数a的取值范围;
(2)当x≥1时,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求实数k的取值范围.

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已知函数f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
与f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

定义在D上的函数f(x)如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数f(x)在[0,1]上是以3为上界的有界函数,求m的取值范围.

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