Question

( 本小题满分12分)

已知集合中的元素都是正整数，且，对任意的且，有．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）对于，试给出一个满足条件的集合．

Answer 1

本小题考察对数学概念的阅读理解能力，考查不等式、集合知识的综合应用，考查运用学过的数学知识解决问题的能力，考查思维能力、论证能力、运算能力和综合解题的能力．满分12分．

〖解析〗

(Ⅰ) 证明：依题意有，又，

　　　　      因此．

　　　　      可得．

　　　　      所以．

　　　　      即．                    …………………4分

（Ⅱ）证明：由(Ⅰ)可得．

　　               又，可得，因此．

　　             同理，可知．

　　             又，可得，

　　             所以均成立．

　　             当时，取，则，

　　             可知．

　　             又当时，．

　　             所以．   ……………………………………………………8分

（Ⅲ）解：对于任意，，

由可知，

，即．

因此，只需对，成立即可．

因为；；；，

因此可设；；；；．

由，可得，取．

由，可得，取．

由，可得，取．

由，可得，取．

所以满足条件的一个集合．……………12分

其它解法，请酌情给分.