Question

在△ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，（a+b）（sinA-sinB）=c（sinC-sinB）且a=2，△ABC的外接圆为⊙O，现在在⊙O内（包括圆周）随机取点，若记所取的点在△ABC内（包括三角形的边）的概率为p，则p的取值范围是（　　）

• A、0＜p≤

  3

  2π

• B、

  3

  2π

  ≤p≤

  3 3

  4π

• C、

  3

  4π

  ＜p≤

  3

  2π

• D、0＜p≤

  3 3

  4π

Answer 1

考点：几何概型

专题：综合题,概率与统计

分析：△ABC中，由（a+b）（sinA-sinB）=c（sinC-sinB），利用正弦定理，求出A，可得2R，即可求出△ABC的外接圆的面积，再利用基本不等式，确定bc≤4，可得S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

，利用概率公式，即可得出结论．

解答： 解：△ABC中，由（a+b）（sinA-sinB）=c（sinC-sinB），
利用正弦定理可得（a+b）（a-b）-（c-b）c=0，即bc=c²+b²-a²，
∴cosA=

1

2

，∴A=

π

3

．
∴2R=

a

sinA

=

4 3

3

，
∴△ABC的外接圆的面积为

4

3

π，
∵bc=c²+b²-a²≥2bc-4，∴bc≤4
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

，
∴所取的点在△ABC内（包括三角形的边）的概率为p=

3 4 bc

4 3 π

≤

3 3

4π

，
故选：D．

点评：本题主要考查正弦定理、概率公式，考查学生的计算能力，属于中档题．