Question

【题目】已知数列{an}满足条件：a1=1，a2=r（r＞0），且{anan+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，设bn=a2n﹣1+a2n（n=1，2，…）．
（1）求出使不等式anan+1+an+1an+2＞an+2an+3（n∈N*）成立的q的取值范围；
（2）求bn和 ，其中Sn=b1+b2+…+bn；
（3）设r=219.2﹣1，q= ，求数列{ }的最大项和最小项的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得rqn﹣1+rqn＞rqn+1

由题设r＞0，q＞0，故从上式可得 q2﹣q﹣1＜0，

∵q＞0，故

（2）解：∵b1=1+r≠0，所以{bn}是首项为1+r，公比为q的等比数列，从而bn=（1+r）qn﹣1

当q=1时，Sn=n（1+r）， =0；

当0＜q＜1时 =

当q＞1时， =0；

∴

（3）解：从上式可知，设f（n）=

当n＞21时，f（n）递减，∴f（n）≤f（21），∴f（n）max=2 25；

当n≤20时，f（n）递减，∴f（n）≥f（20），f（n）min=﹣4

∴当n=21时，数列{ }有最大值2 25；当n=20时，数列{ }有最小值﹣4．

【解析】（1）利用数列{an}满足条件：a1=1，a2=r（r＞0），且{anan+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，可得公比的不等式，故可求q的取值范围；（2）先考虑相邻项的关系，可知比值为常数，故可知数列是等比数列，由于公比不定，故要进行分类讨论；（3）先求数列{ }的通项，再利用单调性，研究其最值．