Question

已知三个数列{F_n}，{k_n}，{r_n}满足：F₁=F₂=1，F_n+2=F_n+1+F_n（n∈N^*），r_n=F_n-3k_n，k_n∈N，0≤r_n＜3，则r₁+r₃+r₅+…+r₂₀₁₁=（　　）

A．1517

B．1511

C．1507

D．1509

Answer 1

分析：r_n为F_n除以3所得的余数，依次写出F_n的各项，得到{r_n}的奇数项按1，2，2，1的周期规律排列．项数共有1006个奇数项，由此能够求出结果．

解答：解：r_n为F_n除以3所得的余数，依次写出F_n的各项
F₁  F₂  F₃  F₄  F₅  F₆  F₇  F₈  F₉  F₁₀  F₁₁  F₁₂  F₁₃  F₁₄  F₁₅
1   1   2   3  5   8 13  21 34  55  89  144  233 377 610
r₁  r₂ r₃ r₄  r₅ r₆ r₇ r₈  r₉ r₁₀ r₁₁ r₁₂ r₁₃ r₁₄   r₁₅
1   1   2   0  2   2   1   0  1   1   2  0    2   2    1
从上面可以看出
r₁=1，r₃=2，r₅=2，r₇=1，r₉=1，r₁₁=2，r₁₃=2，r₁₅=1
{r_n}的奇数项按1，2，2，1的周期规律排列．
项数共有1006个奇数项，故所求和为
251×6+3=1509，
故选D．

点评：本题以裴波拉契数列为背景主要考查归纳猜想，以及抽象概括能力．对式子，r_n=F_n-3k_n的理解是顺利解答本题的关键，对符号意义的抽象概括是目前一般创新题设计的重要素材，要关注抽象的符号题并适当地加以训练．