Question

16．已知2${\;}^{{x}^{2}-4x+4}$≤（$\frac{1}{4}$）^x-2，求函数f（x）=4${\;}^{x-\frac{1}{2}}$-3•2^x+5的最大值和最小值．

Answer 1

分析 解已知的指数不等式求得x的范围，令t=2^x，可得t的范围，g（t）=$\frac{1}{2}$•t²-3t+5，再利用二次函数的性质求得该函数的最值．

解答 解：2${\;}^{{x}^{2}-4x+4}$≤（$\frac{1}{4}$）^x-2，
即2${\;}^{{x}^{2}-4x+4}$≤2^4-2x，
∴x²-4x+4≤4-2x，
即 x（x-2）≤0，
解得 0≤x≤2．
令t=2^x，则t∈[1，4]，函数f（x）=4${\;}^{x-\frac{1}{2}}$-3•2^x+5=g（t）=$\frac{1}{2}$•t²-3t+5=$\frac{1}{2}$•（t-3）²+$\frac{1}{2}$，
故当t=3时，函数取得最小值为$\frac{1}{2}$；
当t=1时，函数取得最大值为$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查指数不等式的解法，二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．