Question

设向量

a

=(cosα，cosβ)，

b

=（cosθ，cosφ），

c

=

a

+t

b

（t∈R），其中α、β、θ、?为锐角，且α+β=θ+?=2(α+?)=

π

2

．
（1）求

a

•

b

； 
（2）当t为何值时，

c

的模最小？最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）利用数量积运算、诱导公式、两角和差的余弦公式即可得出；
（2）利用三角函数的基本关系式、诱导公式、模的计算公式、二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）∵向量

a

=(cosα，cosβ)，

b

=（cosθ，cosφ），∴

a

•

b

=cosαcosθ+cosβcosφ．
∵α+β=θ+φ=2（α+φ）=

π

2

，
∴cosβ=cos(

π

2

-α)=sinα，cosφ=cos(

π

4

-α)，cosθ=cos(

π

4

+α)．
∴

a

•

b

=cosαcos(

π

4

+α)+sinαcos(

π

4

-α)=

2

2

cosα(cosα-sinα)+

2

2

cosα(cosα+sinα)=

2

cos2α．
（2）∵α+β=θ+φ=2（α+φ）=

π

2

，
∴

a

2=cos2α+cos2β=cos²α+sin²α=1，

b

2=cos2θ+cos2φ=cos2(

π

4

+α)+cos2(

π

4

-α)=1．
∵|

c

|=

a 2+t2 b 2+2t a • b

=

t2+2 2 tcos2α+1

=

(t+ 2 cos2α)2+1-2cos4α

≥

1-2cos4α

，当且仅当t=-

2

cos2α，取等号．
∴|

c

|的最小值是

1-2cos4α

．

点评：熟练掌握数量积运算、诱导公式、两角和差的余弦公式、三角函数的基本关系式、诱导公式、模的计算公式、二次函数的单调性等是解题的关键．