Question

【题目】已知函数f（x）=ex+ax+b（a，b∈R）在x=ln2处的切线方程为y=x﹣2ln2． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若k为差数，当x＞0时，（k﹣x）f'（x）＜x+1恒成立，求k的最大值（其中f'（x）为f（x）的导函数）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f'（x）=ex+a，由已知得f'（ln2）=1，故eln2+a=1，解得a=﹣1． 又f（ln2）=﹣ln2，得eln2﹣ln2+b=﹣ln2，解得b=﹣2，
∴f（x）=ex﹣x﹣2，则f'（x）=ex﹣1，
当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0，
∴f（x）的单调区间递增区间为（0，+∞），递减区间为（﹣∞，0）；
（Ⅱ）由已知（k﹣x）f'（x）＜x+1，及f'（x）=ex﹣1，
整理得 在x＞0时恒成立．
令 ， ，
当x＞0时，ex＞0，ex﹣1＞0；
由（Ⅰ）知f（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上为增函数，
又f（1）=e﹣3＜0，f（2）=e2﹣4＞0，
∴存在x0∈（1，2）使得 ，此时
当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；当x∈（x0 ， +∞）时，g'（x）＞0
∴ ．
故整数k的最大值为2
【解析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f'（ln2）=1求导a值，再由f（ln2）=﹣ln2求得b值，代入原函数的导函数，再由导函数的符号与原函数单调性间的关系确定原函数的单调区间；（Ⅱ）把当x＞0时，（k﹣x）f'（x）＜x+1恒成立，转化为 在x＞0时恒成立．令 ，利用导数求其最小值得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．