Question

如图，在棱长均为4的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、D₁分别是BC和B₁C₁的中点．
（1）求证：A₁D₁∥平面AB₁D；
（2）若平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∠B₁BC=60°，求三棱锥B₁-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）欲证A₁D₁∥平面AB₁D，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A₁D₁与平面AB₁D内一直线平行，连接DD₁，根据中位线定理可知B₁D₁∥BD，且B₁D₁=BD，则四边形B₁BDD₁为平行四边形，同理可证四边形AA₁D₁D为平行四边形，则A₁D₁∥AD
又A₁D₁?平面AB₁D，AD?平面AB₁D，满足定理所需条件；
（2）根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面B₁C₁CB，即AD是三棱锥A-B₁BC的高，求出三棱锥A-B₁BC的体积，从而求出三棱锥B₁-ABC的体积．

解答：解：（1）证明：连接DD₁，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵D、D₁分别是BC和B₁C₁的中点．
∴B₁D₁∥BD，且B₁D₁=BD
∴四边形B₁BDD₁为平行四边形
∴BB₁∥DD₁，且BB₁=DD₁
又因AA₁∥BB₁，AA₁=BB₁
所以AA₁∥DD₁，AA₁=DD₁
所以四边形AA₁D₁D为平行四边形，所以A₁D₁∥AD
又A₁D₁?平面AB₁D，AD?平面AB₁D
故A₁D₁∥平面AB₁D；
（2）在△ABC中，棱长均为4，则AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC
因为平面ABC⊥平面B₁C₁CB，交线为BC，AD?平面ABC
所以AD⊥平面B₁C₁CB，即AD是三棱锥A-B₁BC的高
在△ABC中，AB=AC=BC=4得AD=2

3

在△B₁BC中，B₁B=BC=4，∠B₁BC=60°
所以△B₁BC的面积为4

3

∴三棱锥B₁-ABC的体积即为三棱锥A-B₁BC的体积V=

1

3

×4

3

×2

3

=8

点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了推理论证的能力、计算能力，转化与划归的思想，属于中档题．