Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）设PA=AB=2，求二面角A-EF-D的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,空间中直线与直线之间的位置关系,与二面角有关的立体几何综合题

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E是BC的中点，则AE⊥BC，再由BC∥AD，即有AE⊥AD，由线面垂直可得PA⊥AE，进而AE⊥平面PAD，从而得到AE⊥PD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系A-xyz，求出A，D，E，F，P的坐标，得到向量AE，AF，DE，DF的坐标，设平面AEF的法向量

m

=（x，y，z），设平面DEF的法向量

n

=（m，n，p），由垂直的条件：数量积为0，求得法向量，再由向量的夹角公式，即可得到．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，
∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E是BC的中点，∴AE⊥BC，
∵BC∥AD，∴AE⊥AD，
而PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，
∴AE⊥PD；
（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系A-xyz，∵PA=AB=2，则A（0，0，0），
D（0，2，0），E（

3

，0，0），C（

3

，1，0），P（0，0，2），
F为PC的中点，∴F（

3

2

，

1

2

，1），

AE

=（

3

，0，0），

AF

=（

3

2

，

1

2

，1），

DE

=（

3

，-2，0），

DF

=（

3

2

，-

3

2

，1），
设平面AEF的法向量

m

=（x，y，z），由

m • AE =0 m • AF =0

，得

m

=（0，-2，1）；
设平面DEF的法向量

n

=（m，n，p），由

n • DE =0 n • DF =0

得

n

=（

4 3

3

，2，1）．
则cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

-4+1

5 93 9

=-

3 465

155

．
由题意得，二面角A-EF-D为钝角二面角，故所求二面角的余弦值为-

3 465

155

．

点评：本题考查空间位置关系的证明，考查线面垂直的判定和性质的运用，考查空间二面角的求法，主要是运用空间向量法，设出法向量，由向量的夹角可得，考查运算能力，属于中档题．