Question

（本小题满分12分）定义在实数R上的函数y= f（x）是偶函数，当x≥0时，.

（Ⅰ）求f（x）在R上的表达式；

（Ⅱ）求y=f（x）的最大值，并写出f（x）在R上的单调区间（不必证明）.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值1，单调递增区间是（-∞，-1和[0，1] ，单调递减区间是 [-1，0]和[1，+∞。

单调递减区间是 [-1，0]和[1，+∞

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）设x＜0，则- x＞0，

∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）         …………… 3

∴x＜0时，

所以  ……………6

（Ⅱ）y=f（x）开口向下，所以y=f（x）有最大值f（1）=f（-1）=1

函数y=f（x）的单调递增区间是（-∞，-1和[0，1]       …………… 9

单调递减区间是 [-1，0]和[1，+∞       ……………12

考点：函数的奇偶性；函数的最值；函数的单调性；函数解析式的求法。

点评：利用函数的奇偶性求函数的解析式，这类问题的一般做法是：? ①“求谁设谁”?即求哪个区间上的解析式，x就设在哪个区间内； ②要利用已知区间的解析式进行代入； ③利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x)?从而解出f(x)。