Question

19．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，若不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n对?_n∈N^*恒成立，则整数λ的最大值为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由数列递推式求得首项，然后构造出等差数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}，求出通项后代入不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n，整理后得到5-λ＞$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$．然后根据数列b_n=$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$单调性求得最值得答案．

解答 解：当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2²，得a₁=4；
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ，又S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，
两式相减得，a_n=2a_n-1+2ⁿ，
即有$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1．
又$\frac{{a}_{1}}{2}$=2，
则数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以2为首项，1为公差的等差数列，
$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2+n-1，
即a_n=（n+1）•2ⁿ，
∵a_n＞0，∴不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n，等价于5-λ＞$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$．
记b_n=$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$．
n≥2时，$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}}{\frac{2n-3}{{2}^{n}}}$=$\frac{2n-1}{4n-6}$．
∴n≥3时，$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$＜1，（b_n）_max=b₃=$\frac{3}{8}$．
∴5-λ＞$\frac{3}{8}$，即λ＜5-$\frac{3}{8}$=$\frac{37}{8}$，
∴整数λ的最大值为4．
故选：B．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，考查了恒成立问题，是中档题．