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如图,设椭圆的右顶点与上顶点分别为A、B,以A为圆心,OA为半径的圆与以B为圆心,OB为半径的圆相交于点O、P.
(1)若点P在直线上,求椭圆的离心率;
(2)在(1)的条件下,设M是椭圆上的一动点,且点N(0,1)到椭圆上点的最近距离为3,求椭圆的方程.

【答案】分析:(1)根据OP是圆A、圆B的公共弦,可推断出OP⊥AB,进而可知kAB•kOP=-1,进而求得b和a的关系,进而根据求得a和c关系,求得离心率.
(2)把点M代入椭圆方程,进而根据(1)中a和b的关系,表示出|MN|,进而看当a≥4和0<a<4,分别求得函数取最小值时,求得a,则b可求,椭圆的方程可得.
解答:解:(1)因OP是圆A、圆B的公共弦,
所以OP⊥AB,即kAB•kOP=-1,
所以,又
所以
所以
(2)由(1)有
所以此时所求椭圆方程为
设M(x,y)是椭圆上一点,
则|MN|2=x2+(y-1)2
=
其中-a≤y≤a,
1°若0<a<4时,则当y=a时,|MN|2有最小值a2-2a+1,
由a2-2a+1=9得a=-2或a=4(都舍去);
2°若a≥4时,则当y=4时,|MN|2有最小值
得a=±4(舍去负值)即a=4;
综上所述,所求椭圆的方程为
点评:本题主要考查了椭圆的简单性质.应熟练掌握椭圆方程中,a,b和c关系,做题时才能游刃有余.
练习册系列答案
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为A、B,以A为圆心,OA为半径的圆与以B为圆心,OB为半径的圆相交于点O、P.

 

 

(1)求点P的坐标;

(2) 若点P在直线上,求椭圆的离心率;

(3) 在(2)的条件下,设M是椭圆上的一动点,且点N(0,1)到椭圆上点的最近距离为3,求椭圆的方程.

 

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