Question

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：
①对正数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＜0；
③f（3）=-1
（I）求f（1）和f(

1

9

)的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（I）对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），令x=y=1，x=y=3，即可求得f（1）、f（

1

9

）的值；且当x＞1时，f（x）＜0，根据函数单调性的定义讨论函数的单调性．
（II）f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，解不等式即可求得结果．

解答：解：（I）∵函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，
对正数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，得f（1）=0．
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且f（9）+f（

1

9

）=f（1）=0，
得f（

1

9

）=2．
（II）设0＜x₁＜x₂＜+∞，由条件（1）可得f（x2）-f（x1）=f（

x2

x1

），
因

x2

x1

＞1，由（2）知f（

x2

x1

）＜0，
所以f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）在R₊上是递减的函数．
由条件（1）及（I）的结果得：f[x（2-x）]＜f（

1

9

），
由函数f（x）在R₊上的递减性，得：

x＞0 2-x＞0 x(2-x)＞ 1 9

，
由此解得x的范围是（1-

2 2

3

，1+

2 2

3

）．

点评：考查利用函数单调性的定义探讨抽象函数的单调性问题，对于解决抽象函数的一般采用赋值法，求某些点的函数值和证明不等式等，体现了转化的思想．